مطالب کامل ریاضی ، بردار

.:: بردار ::.

مختصات:

برای مشخص کردن نقاط صفحه می توانیم دو محور عمود بر هم با مبدأ مشترک در صفحه رسم کنیم. این دو محور را دستگاه مختصات می نامیم.

ویژگی های صفحه مختصات:

 صفحه مختصات دارای ویژگیهای زیادی است. برای آشنایی شما با ویژگیهای زیبای این صفحه به روش زیر عمل می کنیم:

تصویری برای شما به نمایش در می آید، با دقت به عملیات انجام شده روی تصویر و تجزیه و تحلیل آن،       نتیجه گیری خود را بیان کنید. سپس روی قسمت (نتیجه گیری) کلیک کنید، و نتایج خود را با نتیجه نوشته شده مقایسه کنید. از آن جا که شما در نتیجه گیری ها به ما کمک می کنید. لذا، امیدواریم این امر باعث تثبیت یادگیری و گسترش مهارتهای شما باشد.

نتیجه گیری:

í هر نقطه واقع در ناحیه اول طول و عرضش مثبت است.

نتیجه گیری:

í هر نقطه واقع در ناحیه دوم طولش منفی و عرضش مثبت است.

نتیجه گیری:

í هر نقطه واقع در ناحیه سوم طول و عرضش منفی است.

نتیجه گیری:

í هر نقطه واقع در ناحیه چهارم طولش مثبت و عرضش منفی است.

نتیجه گیری:

í قرینه نقطه نسبت به محور طول نقطه است.

í قرینه نقطه نسبت به محور عرض نقطه است.

í قرینه نقطه نسبت به مبدأ مختصات نقطه است.

راهنمایی برای دانش آموزان: خط d1 نیمساز ناحیه اول و سوم و خط d2 نیمساز ناحیه دوم و چهارم می باشند.

نتیجه گیری:

í قرینه نقطه نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم نقطه است.

í قرینه نقطه نسبت به نیمساز ناحیه دوم و چهارم نقطه است.

بردار: (Vector)

بردار پاره خطی است جهت دار که دارای ابتدا و انتها باشد؛

مانند بردار که ابتدایش A و انتهایش B  می باشد. گاهی اوقات نیز بردار را با یک حرف نشان می دهند؛ مانند بردار

هر بردار در صفحه دارای مختصات می باشد. برای مشخص کردن مختصات یک بردار ابتدا آن را به دو بردار یکی در امتداد افق (محور طول) و دیگری در امتداد قائم (محور عرض) تجزیه کرده و با توجه به جهت بردار ها مختصات آنرا می نویسیم.

بردارها دارای ویژگیهای زیادی هستند و در ریاضی و فیزیک کاربرد فراوان دارند. برای آشنایی با برخی از ویژگیهای بردارها تصاویر را نگاه کنید و نتیجه گیری های خود را با نتایج ثبت شده مقایسه کنید.

نتیجه گیری:

í هر برداری که موازی محور طول ها باشد ، عرض آن صفر است و هر برداری که عرض آن صفر باشد ، موازی محور طول هاست.

نتیجه گیری:

í هر برداری که موازی محور عرض ها باشد، طول آن صفر است و هر برداری که طول آن صفر باشد، موازی محور عرض هاست.

نتیجه گیری:

í بردارهای رسم شده با بردار برابرند.

í بردارهای موازی ، هم اندازه و هم جهت را بردارهای مساوی گویند.

í مختصات همه بردارها برابر  می باشد.

نتیجه گیری:

 í بردارهای رسم شده دو به دو با هم قرینه اند.

í راهنمایی: در شکل (1) رابطه بین بردار  با سایر بردار ها و در شکل (2) رابطه بین بردار با سایر بردارها را بیابید.

نتیجه گیری:

í در شکل (1) چون می توان گفت: بردار بردار حاصل جمع دو بردار است.

í در شکل (2) چون می توان گفت: بردار بردار حاصل جمع بردارهای می باشد.

í هر گاه دو یا چند بردار دنبال هم باشند، برای یافتن حاصل جمع این بردارها کافی است ابتدای بردار اول را به انتهای بردار آخر وصل کنیم. این روش برای نشان دادن بردار حاصل جمع «روش مثلث» نام دارد.

نتیجه گیری:

í برای بدست آوردن حاصل جمع دو بردار با ابتدای مشترک، می توانیم قطر متوازی الاضلاعی را که دو بردار روی آن رسم می شود ، به دست آوریم : این قاعده روش متوازی الاضلاع نامیده می شود.

نتیجه گیری:

í این شکل ضرب یک عدد در بردار را نشان می دهد.

با توجه به مختصات بردارها می توان نتیجه گرفت که :

نتیجه گیری:

í این تصویر ضریب یک عدد منفی در بردار را نشان می دهد.

	با توجه به مختصات دو بردار می توان نوشت:
	به عبارت دیگر:

بردارهای واحد مختصات:

بردارهای  و را بردارهای واحد مختصات می نامیم.

معمولا پارچه فروش ها برای اندازه گیری پارچه از یک متر فلزی کوچک  استفاده میکنند. این متر فلزی به عنوان واحد اندازه گیری پارچه  کار آن ها را ساده تر می کند. در صفحه مختصات بردار i بردار واحد محور طول ها و بردار j بردار واحد محور عرض ها می باشد که هر برداری از صفحه را می توانیم بر حسب این بردار های واحد بدست آوریم.

مثال:

1. اگر باشند، دو بردار مساویند در صورتیکه .

مثال: مقادیر n , m را چنان بیابید که دو بردار برابر باشند.

حل:

2. اگر باشند، دو بردار بر هم عمودند در صورتیکه xx´+yy´ =0

مثال: مقدار m را چنان بیابید که دو بردار در مبدأ مختصات بر هم عمود باشند.

حل:

3. اگر دو نقطه در صفحه باشند، مختصات نقطه c وسط پاره خط AB عبارت است از:

مثال: اگر دو نقطه در صفحه باشند و نقطه وسط پاره خط AB قرار داشته باشد، مقدار a کدام است؟

حل:

4. بردار برداری است که از انتهای به انتهای رسم شود.

5. حاصل جمع هر بردار با قرینه اش برابر صفر است.

مثال: بردارهای قرینه یکدیگر هستند.

مقادیر n , m را بدست آورید.

حل:

6. اگر o محل تلاقی قطرهای متوازی الاضلاع ABCD باشد، آنگاه:

7. اگر AM میانه نظیر ضلع BC از مثلث ABC باشد، آنگاه:

8. اگر N , M وسطهای اضلاع AC , AB از مثلث ABC باشند، آنگاه:

9. در متوازی الاضلاع ABCD داریم:

10. اگر عدد m ، عددی بین 1- و 1 باشد، آنگاه اندازه بردار از اندازه بردار کوچکتر است.